Параметры линии питания

Электромагнитная волна может распространяться или в свободном пространстве, или вдоль линии передачи. В данном параграфе рассмотрим вопрос о распространении электромагнитной волны в линиях питания.

Следует различать длинные и короткие (в электрическом смысле) линии питания. Для первых характерно то, что их длина l сравнима или превышает длину волны λ электромагнитного колебания, а для вторых длина линии l меньше длины волны.

При анализе линий питания будем рассматривать их как набор элементарных отрезков линии длиной Δl, обладающих индуктивностью ΔL, емкостью ΔС, сопротивлением ΔR и проводимостью ΔG. На рис. 2.13а приведена схема линии питания, имеющей длину l, на рис. 2.13б — ее эквивалентная схема, на рис. 2.13в — схема четырехполюсника, который является эквивалентом элементарного отрезка Δl линии питания.

Рис. 2.13. Длинная линия.

Удельное сопротивление линии Ri,Ом/м, представляет собой сопротивление линии, приходящееся на единицу длины. Этот параметр зависит от материала, из которого изготовлена линия питания, частоты колебания (эффект поверхностного тока), а также учитывает взаимодействие отдельных проводников линии питания.

Удельная индуктивность линии Li, Гн/м, представляет собой индуктивность линии L, приходящуюся на единицу длины линии. Этот параметр сильно зависит от конструкции линии и в слабой мере от частоты. Значение этого параметра, как правило, поддается точному расчету.

Удельная емкость линии Сi, Ф/м, представляет собой емкость линии С, приходящуюся на единицу длины линии. Этот параметр определяется конструкцией линии. В частности, для двухпроводной линии удельная емкость определяется диаметром проводов, расстоянием между ними, а также диэлектрической проницаемостью среды. Диэлектрическая проницаемость εr среды слабо зависит от частоты.

Удельная проводимость линии Gi, 1/Ом·м, характеризует потери, приходящиеся на единицу длины линии. Этот параметр зависит от частоты и материала среды, в которой расположена линия питания: $$\begin{equation}G_i=\omega{C_i}\tan\delta\end{equation}\tag{2.34}$$

где tg δ — тангенс угла диэлектрических потерь. Значение этого параметра для некоторых наиболее употребительных сред приведено в табл. 2.2.

ТАБЛИЦА 2.2. Параметры некоторых изоляционных материалов
Материал εr K tg δ · 103
Тефлон 2,1 0,69 0,2
Парафин 2,2 0,67 0,5-1
Полиэтилен 2,26 0,66 0,2
Пенистый полиэтилен 1,5 0,86 0,03
Полистирол 2,5 0,63 0,3—0,6
Плексиглас 2,7 0,61 7
Дерево (береза) 2,5 0,63 40
Резина 2,4—3 0,60 15-18
Поливинил 2,8 0,60 8—20
Кварцевое стекло 3,5 0,53 0,35
Стекло 5-10 0,3—0,4 0,6—15
Бакелит 4 0,50 38
Фарфор 5 0,45 7—8
Слюда 7 0,38 0,2
Титанат бария 5000 15

Рассмотренные выше параметры являются первичными параметрами линии и их знание необходимо для вычисления основных параметров линии питания.

Волновое сопротивление линии Z0, Ом, является одним из основных параметров линии питания. В общем виде волновое сопротивление носит комплексный характер и его взаимосвязь с первичными параметрами линии определяется соотношением $$\begin{equation}Z_0=R_0-iX_0=\sqrt{\frac{R_i+i\omega{L_i}}{G_i+i\omega{C_i}}}\end{equation}\tag{2.35}$$

Как правило, выполняются следующие условия: $\omega{L_i}\gg{R_i}$ и $C_i\gg{G_i}$. Тогда, как это следует из формулы (2.35), получаем $$\begin{equation}Z_0=R_0=\sqrt{\frac{L_i}{C_i}}\end{equation}\tag{2.36}$$ т е. волновое сопротивление выражается только действительным числом и определяется только через параметры Li и Сi.

Вторым основным параметром линии питания является постоянная распространения γ, 1/м. Этот параметр в общем виде также носит комплексный характер: $$\begin{equation}\gamma=\alpha+ik\end{equation}\tag{2.37а}$$ где α — коэффициент затухания; k — постоянная распространения (волновое число).

Взаимосвязь параметра γ с первичными параметрами линии определяется соотношением $$\begin{equation}\gamma=\sqrt{(R_i+i\omega{L_i})(G_i+i\omega{C_i})}\end{equation}\tag{2.37б}$$

Рассмотрим два частных случая, наиболее часто встречающихся на практике

1. Если $G_i\approx{0}$, то $$\begin{equation}k=\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{\frac{1}{2}\left[1+\sqrt{1+\frac{R_i}{\omega{L_i}}}\right]}\end{equation}\tag{2.38}$$

2. Если $R_i\approx{G_i}\approx{0}$, то $$\begin{equation}k=\omega\sqrt{L_i\,C_i}\end{equation}\tag{2.39а}$$ или $$\begin{equation}k=\frac{\omega}{v}=\frac{\omega}{c}\,n\end{equation}\tag{2.39б}$$

На рис. 2.14 приведены графики, характеризующие параметр k.

Рис. 2.14. К определению фазовой постоянной.

Скорость распространения v волны в такой линии определяется ее параметрами; она равна [согласно формулам (2.10) и (2.14)] $$\begin{equation}v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\end{equation}\tag{2.40}$$

Если вспомнить, что $v=\frac{c}{n}=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$ и что для обычно используемых медных и алюминиевых проводов $\mu=\mu_0$, то установим, что скорость распространения v зависит только от диэлектрической проницаемости среды ε. Коэффициент замедления К в данном случае равен $\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_r}}$. Значения коэффициента замедления К для различных сред приведены в табл. 2.2.

Скорость распространения волны $$\begin{equation}v=Kc\end{equation}\tag{2.41}$$

Таким образом, для электромагнитного колебания частотой f длина волны в свободном пространстве $\lambda=\lambda_0$, а скорость распространения $v=c$. При распространении волны в среде, имеющей диэлектрическую проницаемость εr, длина волны $\lambda=K\lambda_0$, а скорость распространения $v=Kc$.

Пример. Для частоты f=14 МГц длина волны в свободном пространстве $\lambda_0=\frac{c}{f}=21,45\;м$. При распространении этой волны в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_r = 2,3$ получаем: $n=\sqrt{\varepsilon_r}=1,52\;,K=\frac{1}{n}=0,66$ и, следовательно, $\lambda=14,14 м$. В свободном пространстве волновое число $k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}=\frac{2\pi}{21,45}=0,28\;рад/м$. Для диэлектрика с εr=2,3 (полистирол) $k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{k_0}{K}=0,433\;рад/м$.

Затухание в линии питания характеризует уменьшение уровня напряжения U при прохождении волны вдоль линии. Обратимся к рис. 2.15, на котором схематически показан процесс ослабления напряжения U волны при ее распpоcтранении вдоль линии: амплитуда напряжения U2 меньше амплитуды напряжения U1.

Мера затухания в линии питания обычно выражается или в виде $$\begin{equation}A=20\,\lg\frac{U_1}{U_2}\end{equation}\tag{2.42а}$$ где А дано в децибелах, или в виде $$\begin{equation}A=\ln\frac{U_1}{U_2}\end{equation}\tag{2.42б}$$ где А дано в неперах; а коэффициент затухания $$\begin{equation}A=\ln\frac{U_1}{U_2}\end{equation}\tag{2.42б}$$ где l — расстояние между точками вдоль линии, для которых измеряются значения U1 и U2.

Рис. 2.15. Затухание в длинной линии.

Из приведенных формул просто получить, что $$\begin{equation}\alpha=\frac{20}{l}\lg\frac{U_1}{U_2}\end{equation}\tag{2.43а}$$ где α дано в децибелах на метр, или $$\begin{equation}\alpha=\frac{1}{l}\ln\frac{U_1}{U_2}=\frac{1}{l}\ln\frac{I_1}{I_2}=\frac{1}{2l}\ln\frac{P_1}{P_2}\end{equation}\tag{2.43б}$$ где α дано в неперах на метр.

Используя формулу (2.42в), можно записать, что $$\begin{equation}A=\alpha{l}\end{equation}\tag{2.44}$$ а используя формулу (2.42), что $ln\frac{U_1}{U_2}=\alpha{l}$. Преобразуя последнее выражение, получаем $$\begin{equation}U_2=U_1\,e^{-\alpha{l}}\end{equation}\tag{2.45}$$

График функции $e^{-\alpha{l}}$ приведен на рис. 2.15. Эта функция имеет монотонно спадающий характер.

Взаимосвязь коэффициента затухания с первичными параметрами линии питания определяется соотношением $$\begin{equation}\alpha=\frac{\omega}{2k}\left(R_iC_i+G_iL_i\right)\approx\frac{1}{2}\left(\frac{R_i}{Z_0}+G_iZ_0\right)\end{equation}\tag{2.46}$$

Отсюда для линии с малыми потерями получаем $$\begin{equation}\alpha=\frac{R_i}{2Z_0}\end{equation}\tag{2.47}$$

Зависимость коэффициента затухания от частоты определяется по формуле $$\begin{equation}\frac{\alpha_{f_2}}{\alpha_{f_1}}=\left(\frac{f_2}{f_1}\right)^\beta\end{equation}\tag{2.48}$$

где значение показателя степени β берется равным 0,5 для диапазона КВ и равным 1 для диапазона УКВ.

На рис. 2.16 приведены графики, показывающие взаимосвязь ослабления напряжения U, тока I и мощности Р с параметрами α, выраженными в децибелах и неперах. Соотношения между значениями затухания, выраженными в децибелах и неперах, имеют вид $$\begin{equation}A_{дБ}=8,686\,A_{Нп};\;A_{Нп}=0,11513\,A_{дБ}\end{equation}\tag{2.49}$$

Рис. 2.16. Графики усиления и ослабления тока, напряжения и мощности, выраженных в неперах и децибелах.

Исторически сложилось так, что затухание, выраженное в неперах, использовалось в технике проводной связи, а выраженное в децибелах — в радиотехнике. В последние годы, как правило, используется децибельная мера в качестве характеристики степени затухания1. Приведенные выше формулы, связывающие параметры затухания для обеих единиц измерения, на наш взгляд, являются полезными для радиолюбителей, которые теперь могут легко перейти от привычной для себя меры к другой.

Коэффициент передачи энергии η характеризует отношение мощности Р1 электромагнитной волны в начале линии к мощности Р2 в конце линии: $$\begin{equation}\eta=\frac{P_2}{P_1}\end{equation}\tag{2.50а}$$

Это соотношение, выраженное в децибельной мере, имеет вид $$\begin{equation}\eta_{дБ}=10\lg\frac{P_2}{P_1}\end{equation}\tag{2.50б}$$

Если согласование линии питания идеальное (коэффициент стоячей волны по напряжению $K_{стU}=1$), то согласно формуле (2.45) $$\begin{equation}\eta_1=e^{-2A}=e^{-2\alpha{l}}\end{equation}\tag{2.51а}$$

Если согласование линии питания неидеальное, т. е. $K_{стU}>1$, то коэффициент передачи η кроме потерь на затухание должен учитывать потери из-за рассогласования: $$\begin{equation}\eta_2=\left[\cosh{2A+0,5\left(K_{стU}+\frac{1}{K_{стU}}\right)\sinh{2A}}\right]^{-1}\end{equation}\tag{2.51б}$$ где $\cosh{x}$ и $\sinh{x}$ функции гиперболического косинуса и синуса соответственно: $\cosh{x}=\frac{e^x+e^{-x}}{2};\;\sinh{x}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$.

В частном случае, когда влияние затухания в линии из-за потерь мало, т. е. $2A\ll{1}$, формула (2.51б) несколько упрощается и принимает вид $$\begin{equation}\eta_2=\left[1+\left(K_{стU}+\frac{1}{K_{стU}}\right)A\right]^{-1}\end{equation}\tag{2.51в}$$ где А — затухание в линии, выраженное в неперах; КстU —- коэффициент стоячей волны.

Рис. 2.17. Зависимость коэффициента передачи η от затухания A и коэффициента стоячей волны.

На рис. 2.17 приведены графики изменения коэффициента передачи в зависимости от затухания в линии А и коэффициента стоячей волны КстU. Так, например, для A=2 дБ (или 0,22 Нп) и из этих графиков следует, что: 1. КстU=1, η=64%; 2. КстU=2, η=61%; 3. КстU=5, η=45%.

Теперь перейдем к анализу различных линий передач.

  • 1. В Советском Союзе в соответствии с действующим ГОСТ принята децибельная мера степени затухания. Прим, редактора.